Algebra lineare Esempi

Risolvere Utilizzando una Matrice Inversa x+y+z+t=4 , 2x-y-z-t=-1 , x+y-2z=0 , 3x+3t=6
x+y+z+t=4 , 2x-y-z-t=-1 , x+y-2z=0 , 3x+3t=6
Passaggio 1
Trova AX=B dal sistema di equazioni.
[1111-12-1-1011-23300][txyz]=[4-106]
Passaggio 2
Trova l'inverso della matrice del coefficiente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Trova il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi 0. Se non ci sono elementi 0 scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga 4 per il proprio cofattore e somma.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.1
Considera il grafico dei segni corrispondente.
|+-+--+-++-+--+-+|
Passaggio 2.1.1.2
Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione -.
Passaggio 2.1.1.3
Il minore per a41 è il determinante con riga 4 e colonna 1 eliminate.
|1112-1-111-2|
Passaggio 2.1.1.4
Moltiplica l'elemento a41 per il suo cofattore.
-3|1112-1-111-2|
Passaggio 2.1.1.5
Il minore per a42 è il determinante con riga 4 e colonna 2 eliminate.
|111-1-1-101-2|
Passaggio 2.1.1.6
Moltiplica l'elemento a42 per il suo cofattore.
3|111-1-1-101-2|
Passaggio 2.1.1.7
Il minore per a43 è il determinante con riga 4 e colonna 3 eliminate.
|111-12-101-2|
Passaggio 2.1.1.8
Moltiplica l'elemento a43 per il suo cofattore.
0|111-12-101-2|
Passaggio 2.1.1.9
Il minore per a44 è il determinante con riga 4 e colonna 4 eliminate.
|111-12-1011|
Passaggio 2.1.1.10
Moltiplica l'elemento a44 per il suo cofattore.
0|111-12-1011|
Passaggio 2.1.1.11
Somma i termini.
-3|1112-1-111-2|+3|111-1-1-101-2|+0|111-12-101-2|+0|111-12-1011|
-3|1112-1-111-2|+3|111-1-1-101-2|+0|111-12-101-2|+0|111-12-1011|
Passaggio 2.1.2
Moltiplica 0 per |111-12-101-2|.
-3|1112-1-111-2|+3|111-1-1-101-2|+0+0|111-12-1011|
Passaggio 2.1.3
Moltiplica 0 per |111-12-1011|.
-3|1112-1-111-2|+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4
Calcola |1112-1-111-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.1
Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi 0. Se non ci sono elementi 0 scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga 1 per il proprio cofattore e somma.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.1.1
Considera il grafico dei segni corrispondente.
|+-+-+-+-+|
Passaggio 2.1.4.1.2
Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione -.
Passaggio 2.1.4.1.3
Il minore per a11 è il determinante con riga 1 e colonna 1 eliminate.
|-1-11-2|
Passaggio 2.1.4.1.4
Moltiplica l'elemento a11 per il suo cofattore.
1|-1-11-2|
Passaggio 2.1.4.1.5
Il minore per a12 è il determinante con riga 1 e colonna 2 eliminate.
|2-11-2|
Passaggio 2.1.4.1.6
Moltiplica l'elemento a12 per il suo cofattore.
-1|2-11-2|
Passaggio 2.1.4.1.7
Il minore per a13 è il determinante con riga 1 e colonna 3 eliminate.
|2-111|
Passaggio 2.1.4.1.8
Moltiplica l'elemento a13 per il suo cofattore.
1|2-111|
Passaggio 2.1.4.1.9
Somma i termini.
-3(1|-1-11-2|-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(1|-1-11-2|-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.2
Calcola |-1-11-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.2.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
-3(1(--2-1-1)-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.2.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.2.2.1.1
Moltiplica -1 per -2.
-3(1(2-1-1)-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.2.2.1.2
Moltiplica -1 per -1.
-3(1(2+1)-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(1(2+1)-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.2.2.2
Somma 2 e 1.
-3(13-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1|2-11-2|+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.3
Calcola |2-11-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.3.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
-3(13-1(2-2-1-1)+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.3.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.3.2.1.1
Moltiplica 2 per -2.
-3(13-1(-4-1-1)+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.3.2.1.2
Moltiplica -1 per -1.
-3(13-1(-4+1)+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1(-4+1)+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.3.2.2
Somma -4 e 1.
-3(13-1-3+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1-3+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1-3+1|2-111|)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.4
Calcola |2-111|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.4.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
-3(13-1-3+1(21-1-1))+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.4.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.4.2.1.1
Moltiplica 2 per 1.
-3(13-1-3+1(2-1-1))+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.4.2.1.2
Moltiplica -1 per -1.
-3(13-1-3+1(2+1))+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1-3+1(2+1))+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.4.2.2
Somma 2 e 1.
-3(13-1-3+13)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1-3+13)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(13-1-3+13)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.5
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.5.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.4.5.1.1
Moltiplica 3 per 1.
-3(3-1-3+13)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.5.1.2
Moltiplica -1 per -3.
-3(3+3+13)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.5.1.3
Moltiplica 3 per 1.
-3(3+3+3)+3|111-1-1-101-2|+0+0
-3(3+3+3)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.5.2
Somma 3 e 3.
-3(6+3)+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.4.5.3
Somma 6 e 3.
-39+3|111-1-1-101-2|+0+0
-39+3|111-1-1-101-2|+0+0
-39+3|111-1-1-101-2|+0+0
Passaggio 2.1.5
Calcola |111-1-1-101-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.1
Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi 0. Se non ci sono elementi 0 scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna 1 per il proprio cofattore e somma.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.1.1
Considera il grafico dei segni corrispondente.
|+-+-+-+-+|
Passaggio 2.1.5.1.2
Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione -.
Passaggio 2.1.5.1.3
Il minore per a11 è il determinante con riga 1 e colonna 1 eliminate.
|-1-11-2|
Passaggio 2.1.5.1.4
Moltiplica l'elemento a11 per il suo cofattore.
1|-1-11-2|
Passaggio 2.1.5.1.5
Il minore per a21 è il determinante con riga 2 e colonna 1 eliminate.
|111-2|
Passaggio 2.1.5.1.6
Moltiplica l'elemento a21 per il suo cofattore.
1|111-2|
Passaggio 2.1.5.1.7
Il minore per a31 è il determinante con riga 3 e colonna 1 eliminate.
|11-1-1|
Passaggio 2.1.5.1.8
Moltiplica l'elemento a31 per il suo cofattore.
0|11-1-1|
Passaggio 2.1.5.1.9
Somma i termini.
-39+3(1|-1-11-2|+1|111-2|+0|11-1-1|)+0+0
-39+3(1|-1-11-2|+1|111-2|+0|11-1-1|)+0+0
Passaggio 2.1.5.2
Moltiplica 0 per |11-1-1|.
-39+3(1|-1-11-2|+1|111-2|+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.3
Calcola |-1-11-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.3.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
-39+3(1(--2-1-1)+1|111-2|+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.3.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.3.2.1.1
Moltiplica -1 per -2.
-39+3(1(2-1-1)+1|111-2|+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.3.2.1.2
Moltiplica -1 per -1.
-39+3(1(2+1)+1|111-2|+0)+0+0
-39+3(1(2+1)+1|111-2|+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.3.2.2
Somma 2 e 1.
-39+3(13+1|111-2|+0)+0+0
-39+3(13+1|111-2|+0)+0+0
-39+3(13+1|111-2|+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.4
Calcola |111-2|.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.4.1
È possibile trovare il determinante di una matrice 2×2 usando la formula |abcd|=ad-cb.
-39+3(13+1(1-2-11)+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.4.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.4.2.1.1
Moltiplica -2 per 1.
-39+3(13+1(-2-11)+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.4.2.1.2
Moltiplica -1 per 1.
-39+3(13+1(-2-1)+0)+0+0
-39+3(13+1(-2-1)+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.4.2.2
Sottrai 1 da -2.
-39+3(13+1-3+0)+0+0
-39+3(13+1-3+0)+0+0
-39+3(13+1-3+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.5
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.5.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.5.5.1.1
Moltiplica 3 per 1.
-39+3(3+1-3+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.5.1.2
Moltiplica -3 per 1.
-39+3(3-3+0)+0+0
-39+3(3-3+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.5.2
Sottrai 3 da 3.
-39+3(0+0)+0+0
Passaggio 2.1.5.5.3
Somma 0 e 0.
-39+30+0+0
-39+30+0+0
-39+30+0+0
Passaggio 2.1.6
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.6.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.6.1.1
Moltiplica -3 per 9.
-27+30+0+0
Passaggio 2.1.6.1.2
Moltiplica 3 per 0.
-27+0+0+0
-27+0+0+0
Passaggio 2.1.6.2
Somma -27 e 0.
-27+0+0
Passaggio 2.1.6.3
Somma -27 e 0.
-27+0
Passaggio 2.1.6.4
Somma -27 e 0.
-27
-27
-27
Passaggio 2.2
Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.
Passaggio 2.3
Imposta una matrice 4×8 dove la metà di sinistra è la matrice originale mentre la metà di destra è la sua matrice identità.
[11111000-12-1-10100011-2001033000001]
Passaggio 2.4
Trova la forma a scalini ridotta per righe.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Esegui l'operazione in riga R2=R2+R1 per rendere il dato in 2,1 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1.1
Esegui l'operazione in riga R2=R2+R1 per rendere il dato in 2,1 un 0.
[11111000-1+112+11-1+11-1+110+111+00+00+0011-2001033000001]
Passaggio 2.4.1.2
Semplifica R2.
[1111100003001100011-2001033000001]
[1111100003001100011-2001033000001]
Passaggio 2.4.2
Esegui l'operazione in riga R4=R4-3R1 per rendere il dato in 4,1 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.1
Esegui l'operazione in riga R4=R4-3R1 per rendere il dato in 4,1 un 0.
[1111100003001100011-200103-313-310-310-310-310-300-301-30]
Passaggio 2.4.2.2
Semplifica R4.
[1111100003001100011-2001000-3-3-3001]
[1111100003001100011-2001000-3-3-3001]
Passaggio 2.4.3
Moltiplica ogni elemento di R2 per 13 per rendere il dato in 2,2 un 1.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.3.1
Moltiplica ogni elemento di R2 per 13 per rendere il dato in 2,2 un 1.
[111110000333030313130303011-2001000-3-3-3001]
Passaggio 2.4.3.2
Semplifica R2.
[111110000100131300011-2001000-3-3-3001]
[111110000100131300011-2001000-3-3-3001]
Passaggio 2.4.4
Esegui l'operazione in riga R3=R3-R2 per rendere il dato in 3,2 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.4.1
Esegui l'operazione in riga R3=R3-R2 per rendere il dato in 3,2 un 0.
[1111100001001313000-01-11-0-2-00-130-131-00-000-3-3-3001]
Passaggio 2.4.4.2
Semplifica R3.
[111110000100131300001-2-13-131000-3-3-3001]
[111110000100131300001-2-13-131000-3-3-3001]
Passaggio 2.4.5
Esegui l'operazione in riga R4=R4+3R3 per rendere il dato in 4,3 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.5.1
Esegui l'operazione in riga R4=R4+3R3 per rendere il dato in 4,3 un 0.
[111110000100131300001-2-13-13100+300+30-3+31-3+3-2-3+3(-13)0+3(-13)0+311+30]
Passaggio 2.4.5.2
Semplifica R4.
[111110000100131300001-2-13-1310000-9-4-131]
[111110000100131300001-2-13-1310000-9-4-131]
Passaggio 2.4.6
Moltiplica ogni elemento di R4 per -19 per rendere il dato in 4,4 un 1.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.6.1
Moltiplica ogni elemento di R4 per -19 per rendere il dato in 4,4 un 1.
[111110000100131300001-2-13-1310-190-190-190-19-9-19-4-19-1-193-191]
Passaggio 2.4.6.2
Semplifica R4.
[111110000100131300001-2-13-131000014919-13-19]
[111110000100131300001-2-13-131000014919-13-19]
Passaggio 2.4.7
Esegui l'operazione in riga R3=R3+2R4 per rendere il dato in 3,4 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.7.1
Esegui l'operazione in riga R3=R3+2R4 per rendere il dato in 3,4 un 0.
[1111100001001313000+200+201+20-2+21-13+2(49)-13+2(19)1+2(-13)0+2(-19)00014919-13-19]
Passaggio 2.4.7.2
Semplifica R3.
[111110000100131300001059-1913-2900014919-13-19]
[111110000100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.8
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R4 per rendere il dato in 1,4 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.8.1
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R4 per rendere il dato in 1,4 un 0.
[1-01-01-01-11-490-190+130+190100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.8.2
Semplifica R1.
[111059-1913190100131300001059-1913-2900014919-13-19]
[111059-1913190100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.9
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R3 per rendere il dato in 1,3 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.9.1
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R3 per rendere il dato in 1,3 un 0.
[1-01-01-10-059-59-19+1913-1319+290100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.9.2
Semplifica R1.
[1100000130100131300001059-1913-2900014919-13-19]
[1100000130100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.10
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R2 per rendere il dato in 1,2 un 0.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.10.1
Esegui l'operazione in riga R1=R1-R2 per rendere il dato in 1,2 un 0.
[1-01-10-00-00-130-130-013-00100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.4.10.2
Semplifica R1.
[1000-13-130130100131300001059-1913-2900014919-13-19]
[1000-13-130130100131300001059-1913-2900014919-13-19]
[1000-13-130130100131300001059-1913-2900014919-13-19]
Passaggio 2.5
La metà destra della forma a scalini ridotta per righe è l'inverso.
[-13-1301313130059-1913-294919-13-19]
[-13-1301313130059-1913-294919-13-19]
Passaggio 3
Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.
([-13-1301313130059-1913-294919-13-19][1111-12-1-1011-23300])[txyz]=[-13-1301313130059-1913-294919-13-19][4-106]
Passaggio 4
Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a 1. AA-1=1.
[txyz]=[-13-1301313130059-1913-294919-13-19][4-106]
Passaggio 5
Moltiplica [-13-1301313130059-1913-294919-13-19][4-106].
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Passaggio 5.1
Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è 4×4 e la seconda matrice è 4×1.
Passaggio 5.2
Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.
[-134-13-1+00+136134+13-1+00+06594-19-1+130-296494+19-1-130-196]
Passaggio 5.3
Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.
[1111]
[1111]
Passaggio 6
Semplifica il lato destro e sinistro.
[txyz]=[1111]
Passaggio 7
Trova la soluzione.
t=1
x=1
y=1
z=1
 [x2  12  π  xdx ]